# 相同网络在不同状态下的比较

如果我有两个相同的代谢物网络（节点及边是相同的），但是它们是在不同的生理条件下得到的，我只能通过代谢物在不同状态下的 coefficient 来给边加权。在这种情况下，可以通过哪些属性，或者是什么方法来在网络上比较差异？

要比较的是网络中的边权重的变化以及这种变化如何影响网络的整体属性和功能。在这种情况下，有几个网络属性和分析方法可以用于比较两个加权网络的差异：

# 1. 边权重变化的比较

• 边权重差异：你可以直接计算每条边在两种状态下的权重差异，找出权重变化最大的边。这可以揭示哪些代谢物之间的相互作用在不同状态下发生了显著变化。
  • 差异计算：可以通过简单的差异计算（如 Δw = w_{condition2} - w_{condition1} ），或者使用相对变化（如百分比变化），找出显著增加或减少的反应。
  • 差异网络：构建一个差异网络，仅保留权重变化显著的边，展示在不同状态下代谢物之间的主要变化。

# 2. 全局网络属性的比较

虽然节点和边的结构相同，但权重的变化可能影响网络的全局属性，以下是几个可以比较的全局属性：

• 加权度中心性（Weighted Degree Centrality）：度中心性是指一个节点连接的边的数量，而加权度中心性考虑了边的权重。你可以比较每个节点在两种状态下的加权度中心性，找出在不同条件下与其他代谢物交互强度发生显著变化的代谢物。
• 加权平均路径长度（Weighted Average Path Length）：代谢网络中两个代谢物之间的最短路径长度可能会因边的权重变化而改变。可以计算两个网络中节点之间的加权最短路径长度，比较不同状态下网络的连通性和效率。
• 加权聚类系数（Weighted Clustering Coefficient）：加权聚类系数可以衡量节点的邻居之间是否也相互连接，并且考虑了边的权重。可以比较两个网络的加权聚类系数，看看不同状态下是否有不同的代谢物群体出现更紧密的交互。

# 3. 局部网络属性的比较

• 节点的局部加权属性比较：对于每个节点，可以计算其局部属性（如加权度、加权聚类系数、加权邻居度等），并进行比较。这样可以识别出在不同条件下，某些代谢物的局部网络结构发生了显著变化。
  • 节点重要性排名：通过比较不同状态下节点的加权中心性或其他局部属性，确定哪些节点在特定状态下变得更加重要（例如，具有更高的加权度或更强的聚类能力）。

# 4. 加权网络模块性（Weighted Modularity）

• 模块性比较：模块性分析可以识别网络中的功能模块（即在网络中相互连接较多的子集）。在加权网络中，模块的划分可能会受到边权重变化的影响。你可以比较两个网络的加权模块划分，观察是否有新的模块出现或原有模块的权重显著改变。
  • 功能模块变化：代谢通路往往会形成模块，你可以查看在不同条件下，模块内的代谢物及其反应权重是否发生变化，从而揭示某些代谢通路的变化。

# 5. 网络的鲁棒性和灵敏度分析

• 加权网络的鲁棒性：网络的鲁棒性指的是当节点或边失效时，网络整体连通性的维持能力。可以通过对两种条件下的加权网络进行边权重的扰动实验，测试网络的稳健性或灵敏度。你可以比较两个条件下的加权网络，看看在权重变化时，网络的结构和功能是否更加脆弱或稳健。
• 权重扰动实验：你可以通过逐步改变边权重，模拟不同条件下网络的灵敏度，进而观察权重变化对网络整体连通性、路径长度等的影响。

# 6. 基于路径的分析

• 加权最短路径和路径差异分析：代谢网络中的最短路径是反映代谢物如何通过一系列反应转化的重要指标。你可以通过加权最短路径算法，计算两个网络中代谢物对之间的最短路径，比较不同条件下路径长度的变化，揭示代谢物之间转化的效率是否因条件变化而发生改变。

# 7. 基于统计的差异分析

• 统计显著性检验：对于每个节点或边的权重差异，你可以使用统计检验（如 t 检验或 Mann-Whitney U 检验）来判断这些变化是否显著。通过对每个边权重变化的检验，你可以识别出在两种状态下发生了显著变化的代谢反应。
• 重要代谢反应的显著性测试：通过统计检验，确定哪些代谢物之间的相互作用在两种生理状态下发生了显著变化，帮助找到特定的代谢反应靶点。

# 8. 差异网络的特征分析

• 差异网络构建：如前述方法，通过对比每条边的权重变化，你可以构建一个差异网络，将权重变化较大的边保留下来。然后对差异网络的全局和局部属性进行分析，揭示在不同生理条件下代谢物网络的主要区别。
• 边权重阈值筛选：你可以设定一个阈值（例如，只有权重变化超过某个值的边被保留），来筛选出在两种状态下权重变化最显著的反应。这个差异网络可以帮助你识别关键的代谢变化。

# 9. 机器学习和聚类分析

• 聚类分析：你可以基于网络中的加权属性（如节点的加权度、加权最短路径、模块性等）对节点进行聚类，比较两种状态下代谢物或反应的聚类结果。聚类的变化可以反映代谢物在不同条件下的功能差异。
• 机器学习模型：基于网络的加权属性，可以使用机器学习方法（如支持向量机、随机森林等）来分类不同条件下的网络，并识别出最重要的网络特征。这可以帮助自动化发现哪些代谢反应或代谢物最能区分不同的生理状态。

# 10. 动态网络比较

• 边权重变化轨迹：如果这两个网络可以看作是在不同生理状态下（如不同时间点）得到的代谢物网络，可以通过比较每条边的权重变化轨迹，分析代谢网络如何从一个状态转变到另一个状态。这种方法适用于逐步变化的条件（如疾病进展或环境变化）。

# 总结

由于节点和边保持相同，边的权重成为比较的核心。因此，加权网络属性是最重要的分析工具。你可以通过比较边权重的变化及其对节点、子网络、全局网络属性的影响，揭示不同生理状态下的代谢网络差异。同时，可以结合统计分析和机器学习方法，自动识别重要的差异代谢反应和代谢物。

# 加权属性的计算方法

三个指标（加权度中心性、加权平均路径长度、加权聚类系数）在加权网络中的计算方法与传统未加权网络的指标类似，但在计算时引入了边的权重。以下是每个指标的计算方法及其背后的原理：

# 1. 加权度中心性（Weighted Degree Centrality）

加权度中心性考虑了节点与其邻居相互作用的强度，而不仅仅是连接数量。

# 计算公式：

加权度中心性 $C_D(v)$ 是某个节点 $v$ 连接的边的权重之和：

$$C_D(v) = \sum_{u \in N(v)} w_{uv}$$

其中：

• $N(v)$ 是与节点 $v$ 相连的邻居节点集合。
• $w_{uv}$ 是节点 $v$ 与邻居 $u$ 之间边的权重。

# 计算步骤：

1. 对每个节点 $v$，找到它的所有邻居节点 $u$。
2. 对每个邻居节点，取节点 $v$ 和邻居 $u$ 之间边的权重 $w_{uv}$。
3. 计算所有连接的权重之和，得到该节点的加权度中心性。

# 解释：

加权度中心性反映了节点与其邻居的交互强度。权重高的边说明该节点与邻居的关系更紧密。因此，加权度中心性不仅仅关注一个节点与多少个节点相连，还反映了这些连接的强度。

# 2. 加权平均路径长度（Weighted Average Path Length）

加权平均路径长度是指网络中任意两个节点之间的最短路径长度的加权平均值。边的权重可以反映距离、费用或交互强度，因此它直接影响路径长度的计算。

# 计算公式：

加权最短路径长度 $L(v,u)$ 是节点 $v$ 和 $u$ 之间的最短路径上的权重之和：

$$L(v, u) = \min \left( \sum_{(i,j) \in P(v,u)} w_{ij} \right)$$

其中：

• $P(v, u)$ 是节点 $v$ 和 $u$ 之间的所有路径集合。
• $w_{ij}$ 是路径上的边 $(i,j)$ 的权重。

然后，加权平均路径长度 $\overline{L}$ 是所有节点对之间最短路径长度的平均值：

$$\overline{L} = \frac{1}{n(n-1)} \sum_{v \neq u} L(v, u)$$

其中：

• $n$ 是网络中的节点总数。
• $L(v,u)$ 是节点 $v$ 和 $u$ 之间的加权最短路径长度。

# 计算步骤：

1. 使用一个最短路径算法（如 Dijkstra 算法或 Floyd-Warshall 算法）计算网络中每对节点之间的加权最短路径。
2. 对每个节点对，找到它们之间的最短路径长度，并将这些路径长度取平均值，得到网络的加权平均路径长度。

# 解释：

加权平均路径长度反映了网络中代谢物之间的连通性和效率。在加权网络中，路径长度不仅仅是边的数量，还取决于每条边的权重。权重较小的边被认为是较短路径上的首选，因此，平均路径长度会因权重变化而不同。

# 3. 加权聚类系数（Weighted Clustering Coefficient）

加权聚类系数衡量某个节点的邻居之间的连通程度，并且将边的权重纳入考虑。

# 计算公式：

加权聚类系数 $C(v)$ 是节点 $v$ 邻居之间的边的加权强度之和与其可能存在的最大强度之比：

$$C(v) = \frac{1}{k_v(k_v - 1)} \sum_{i,j \in N(v)} \frac{(w_{vi} + w_{vj})}{2} a_{ij}$$

其中：

• $k_v$ 是节点 $v$ 的度，即它的邻居节点数量。
• $w_{vi}, w_{vj}$ 是节点 $v$ 与其邻居 $i$ 和 $j$ 之间的边的权重。
• $a_{ij}$ 是邻居节点 $i$ 和 $j$ 之间是否存在边（如果存在，则 $a_{ij} = 1$，否则为 $0$）。

# 计算步骤：

1. 找到每个节点 $v$ 的邻居节点集合 $N(v)$。
2. 对于节点 $v$ 的每对邻居 $i$ 和 $j$，检查它们是否相连，并取出它们与节点 $v$ 之间的边权重。
3. 计算这些连接的权重平均值，并归一化为最大可能的边强度。
4. 对每个节点计算其加权聚类系数，最终可以取所有节点的平均值，得到网络的整体加权聚类系数。

# 解释：

加权聚类系数反映了节点的邻居之间的集群性和交互强度。高加权聚类系数说明节点的邻居不仅彼此连接紧密，而且这些连接的强度也较高。

# 总结：

• 加权度中心性：衡量节点的总交互强度，反映节点在网络中的重要性。
• 加权平均路径长度：衡量网络中任意两点之间的连通性，反映代谢物在不同状态下的转化效率。
• 加权聚类系数：衡量节点邻居之间的连接强度，反映局部网络结构的紧密程度。

# 在 R 语言中实现

# 加载 igraph 包

library(igraph)

# 创建加权的边列表

edges <- data.frame(

  source = c("A", "A", "B", "B", "C", "D", "E"),

  target = c("B", "C", "C", "D", "E", "E", "F"),

  weight = c(2, 1, 3, 2, 4, 1, 5)

)

# 创建加权无向图

g <- graph_from_data_frame(edges, directed = FALSE)

E(g)$weight <- edges$weight

# 1. 计算加权度中心性

weighted_degree <- strength(g, vids = V(g), weights = E(g)$weight)

print("加权度中心性：")

print(weighted_degree)

# 2. 计算加权平均路径长度

shortest_paths_matrix <- distances(g, weights = E(g)$weight)

average_weighted_path_length <- mean(shortest_paths_matrix[shortest_paths_matrix != 0])

print("加权平均路径长度：")

print(average_weighted_path_length)

# 3. 计算加权聚类系数

weighted_clustering_coeff <- transitivity(g, type = "local", weights = E(g)$weight)

print("加权聚类系数：")

print(weighted_clustering_coeff)

average_weighted_clustering_coeff <- mean(weighted_clustering_coeff, na.rm = TRUE)

print("平均加权聚类系数：")

print(average_weighted_clustering_coeff)